11. a1, a2, … ; b1, b2, … dan c1,
c2, … adalah 3 barisan yang semua sukunya memenuhi relasi rekurensi. Nilai
suatu suku sama dengan 3 kali nilai suku sebelumnya. Jadi, ak = 3ak-1;
bk=3bk-1; ck=3 ck-1.
Tetapi kondisi awal ketiga barisan tersebut berbeda :
a1= 0 ; b1 = 1 ; c1= 2. Maka suku awal barisannya adalah?
Tetapi kondisi awal ketiga barisan tersebut berbeda :
a1= 0 ; b1 = 1 ; c1= 2. Maka suku awal barisannya adalah?
a.
barisan a1 adalah :0,0,0 …
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 6,18,54…
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 6,18,54…
b. barisan a1 adalah :3,9,27 …
barisan b1 adalah: 0,0,0…
barisan c1 adalah: 18,9 54…
barisan b1 adalah: 0,0,0…
barisan c1 adalah: 18,9 54…
c. barisan a1 adalah : 6,18,54…
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 0,0,0…
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 0,0,0…
d. barisan a1 adalah :0,0,0 …
barisan b1 adalah: 6,18,54…
barisan c1 adalah: 3,9,27…
barisan b1 adalah: 6,18,54…
barisan c1 adalah: 3,9,27…
22. Carilah relasi berulang
dengan syarat awal dari barisan 1, 1, 2, 4, 16, 128, 4096, . . .
a. an = 1 x an-1
x2 x an-2 untuk n
2 dengan syarat a0 = 1 dan a1
= 0
2 dengan syarat a0 = 1 dan a1
= 0
b. an = 2 x an-1
x2 x an-2 untuk n
2 dengan syarat a0 = 0 dan a1
= 1
2 dengan syarat a0 = 0 dan a1
= 1
c.
an = 2 x an-1
x2 x an-2 untuk n
2 dengan syarat a0
= 1 dan a1 = 1
2 dengan syarat a0
= 1 dan a1 = 1
d. an = 2 x an-1
x2 x an-2 untuk n
2 dengan syarat a0 = 1 dan a1
= 1
2 dengan syarat a0 = 1 dan a1
= 1
33. Hasil dari penyelesaian relasi rekursif an = 7 an-1,
n≥1, a2 = 98 adalah?
a. an = 7n
(1) , untuk n≥ 0 dengan a0 = 0 dan a1 = 7
b. an = 7n
(0) , untuk n≥ 0 dengan a0 = 1 dan a1 = 7
c. an = 7n
(1) , untuk n≥ 0 dengan a0 = 2 dan a1 = 0
d.
an = 7n
(2) , untuk n≥ 0 dengan a0 = 2 dan a1 = 7
44. Diketehui relasi rekursif Sn
= 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Berapa nilai Sn?
a.
2n
b. 1n
c. 3n
d. 5n
55. Penyelesaian umum dari an = an-1
+ 2an-2 dengan a0 = 2 dan a1 =7 adalah
a. an = 1.2n
– (-1)n
b. an = 3.1n
– (-2)n
c.
an = 3.2n
– (-1)n
d. an = 2.2n
– (-1)n
66. Seseorang menginvestasikan $1.000
dengan bunga tahunan 12%. Jika an adalah jumlah yang diperoleh pada
akhir tahun ke-n, tentukan an nya
a. an = 1,11n
(1000), n≥0
b.
an = 1,12n
(1000), n≥0
c. an = 1,12n
(1000), n≥1
d. an = 1,12n
(1000), n=0
PEMBAHASAN
11. Pada barisan a1, a2….
a2 = 3a1 =3.0 = 0
a3 = 3a2 = 3.0 = 0
a4 = 3a3 = 3.0 = 0
pada barisan b1, b2….
b2 = 3b1 = 3.1 = 3
b3 = 3b2 =3.3 = 9
b4 = 3b3 = 3.9 = 27
pada barisan c1, c2….
c2 = 3c1 = 3.2 = 6
c3 = 3c2 = 3.6 =18
c4 = 3c3 = 3.18 = 54
dengan demikian , barisan a1 adalah :0,0,0 …
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 6,18,54…
a2 = 3a1 =3.0 = 0
a3 = 3a2 = 3.0 = 0
a4 = 3a3 = 3.0 = 0
pada barisan b1, b2….
b2 = 3b1 = 3.1 = 3
b3 = 3b2 =3.3 = 9
b4 = 3b3 = 3.9 = 27
pada barisan c1, c2….
c2 = 3c1 = 3.2 = 6
c3 = 3c2 = 3.6 =18
c4 = 3c3 = 3.18 = 54
dengan demikian , barisan a1 adalah :0,0,0 …
barisan b1 adalah: 3,9,27…
barisan c1 adalah: 6,18,54…
22. Penyelesaian
Bentuk rumusan setiap suku dengan menggunakan suku sebelumnya
1 = 1
1 = 1 X 1
2 = 2 X 1 X 1
4 = 2 X 2 X 1
16 = 2 X 4 X 2
128 = 2 X 16 X 4
4096 = 2 X 128 X 16 X 4
Dengan demikian relasi yang berulang yang diperoleh adalah an = 2 X an-1 X 2 X an-2 untuk n≥2 Dengan syarat awal a0 = 1 dan a1 = 1
Bentuk rumusan setiap suku dengan menggunakan suku sebelumnya
1 = 1
1 = 1 X 1
2 = 2 X 1 X 1
4 = 2 X 2 X 1
16 = 2 X 4 X 2
128 = 2 X 16 X 4
4096 = 2 X 128 X 16 X 4
Dengan demikian relasi yang berulang yang diperoleh adalah an = 2 X an-1 X 2 X an-2 untuk n≥2 Dengan syarat awal a0 = 1 dan a1 = 1
33. Penyelesaian : Untuk n = 1 maka a1 = 7 a0
a2
= 7 : a1 = 7
(7
a0) = 7 2 a0
dari a2 = 98 maka 98
= 49 a0
sehingga diperoleh a0
= 2. Jika relasi tersebut dideretkan terus akan diperoleh a3 = 7; a2 = 7 (72
a0) = 73 a0
..........dan seterusnya
Sehingga penyelesaian
umum dari Soal di atas adalah an
= 7n (2) , n ≥ 0
44. Penyelesaian :
Dengan iterasi
diperoleh:
Sn
= 2S n-1
= 2
(2S n-2) = 2 2 Sn-2
= 2
3 Sn-3
=
………
= 2
n S0
= 2n
55. Penyelesaian :
Persamaan
karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
r2 – r – 2
= 0 . Dengan akar-akar r = 2 dan r = -1. Maka, deretan {an} adalah
jawaban dari relasi
rekurensi jika dan
hanya jika an = c12n + c2(-1)n
. Dengan persamaan an = c12n + c2(-1)n
dan syarat awal a0 =
2 dan
a1 = 7 ,
diperoleh:
a0 = 2 = c1
= c2
a1 = 7 = 2c1
– c2
Dengan eliminasi
didapatkan c1 = 3 =c dan c1 = -1 . Jadi penyelesaian umum dari dari
relasi rekurensi di
atas adalah an = 3.2n – (-1)n
46.
Penyelesaian :
A0 = 1.000
A1 = 1.000 + 12% (1.000)
= A0 + 0,12A0
= 1,12 A0 = 1,12 (1.000)
A2 = A1 + 12% (A1)
=
1,12 A0 + 0,12 (1,12 A0)
=
1,12 A0 (1 + 0,12)
=
1,12 A0 (1,12)
= 1,12 2 A0
=
1,12 2 (1.000)
A3 = A 2 + 12% (A 2)
=
1,12 2 A0 + 0,12 2 (1,12 A 0)
=
1,12 2 A0 (1 + 0,12)
=
1,12 2 A0 (1,12)
= 1,12
2 A0
=
1,12 2 (1.000)
Dan seterusnya,
sehingga An = 1,12n (1.000) , n ≥ 0
